Los siete problemas del milenio han sido elegidos por una institución privada de Cambridge, Massachusetts, el Instituto Cay de Matemáticas, cuya resolución de cada problema sería premiada con la suma de un millón de dólares. El Instituto Cay de Matemáticas es una institución de carácter privado fundado por el empresario estadounidense Landon T. Cay y su esposa Lavinia D. Cay en el año de 1998, para su fundación estas personas donaron gran parte de su fortuna, el objetivo principal de esta institución es incrementar y difundir el conocimiento de las matemáticas. Entre sus actividades se encuentra el apoyo a investigadores matemáticos, programas para promover el desarrollo de las vocaciones de jóvenes con talento especial en el campo de las matemáticas, y por supuesto, la actividad por la que se ha hecho famosa es por el concurso de los problemas del milenio.
La lista contiene representación de todas las áreas de la matemática, algebra, geometría, teoría de números, análisis, física matemática.
Algunos de los problemas llevan abiertos cien años o más, como la hipótesis de Riemann o la conjetura de Poincaré, formuladas por las personas que les dan el nombre en 1857 y 1904 respectivamente.
La elección del año 2000 para el lanzamiento de este proyecto no es producto de la casualidad, aparte del valor simbólico de la fecha como cambio de siglo y de milenio, la UNESCO declaró ese año como “Año Mundial de las Matemáticas”. Además del centenario de la publicación de la lista de los 23 problemas de Hilbert, formulados por David Hilbert. Algunos de los problemas de Hilbert continúan sin tener una solución satisfactoria.
Algunos de los problemas han sido “resueltos” varias veces a lo largo de su historia o al menos así lo han creído los autores de las supuestas soluciones, y en algunos casos, la mayoría de sus contemporáneos. Por ejemplo el primer matemático en resolver la conjetura de Poincaré fue el propio Poincaré en el año 1900, justo cuatro años antes de formulara como conjetura al darse cuenta que tenía un error. Para evitar este tipo de falsas soluciones, las normas del concurso son muy específicas:
1. Ser publicada en una revista de prestigio mundial.
2. Tener aceptación general dos años después de su publicación.
3. Poseer el visto bueno del comité científico del Instituto Cay .
4. Obtener el visto bueno de un segundo comité más especializado que se creará expresamente para estudiar esa solución.
A continuación la lista de los llamados problemas del milenio:
1. “P vs NP”
Todos sabemos que hay problemas matemáticos o no en los que es mucho más difícil encontrar una solución que comprobar si una solución es correcta. El problema1. “P vs NP” pide demostrar o refutar esa afirmación tan evidente.
En informática teórica se llama problema a algo que a cada input asocia un output de manera bien definida, por ejemplo, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales sería un problema y el output puede ser una solución o un conjunto de sus soluciones. Los problemas se clasifican en diferentes clases de complejidad según lo fácil o difícil para resolverlos. Los problemas P (polinómicos) son los que se pueden resolver en un tiempo razonable y los NP ( polinómicos en sentido no determinista) aquellos en los que se puede al menos comprobar en un tiempo razonable que una solución es correcta. Tiempo razonable significa un número de pasos acotados por una función polinómica del tamaño del input.
Por supuesto, todo problema P es también NP. Pero nadie sabe si hay algún problema NP que no sea P. La pregunta de si P=NP fue formulada en 1971 por Stephen Cook y Leonid Levin.
El asunto de es muy importante. Los sistemas criptográficos de clave pública que todos usamos hoy en día, por ejemplo, internet se basan en que tu ordenador pueda codificar mensajes utilizando para ello una clave pública y que el receptor los pueda descifrar con una clave privada. Pero para que el método sea practico, el creador de las claves debe ser capaz de construir la clave pública a partir de la privada en tiempo P, lo cual significa que reconstruir la privada a partir de la publica en un problema NP. Si resultara que P y NP son lo mismo, entonces cualquier tercero que intercepte el mensaje y la clave pública también puede descifrarlo en tiempo P, así que tendríamos que inventar algo nuevo, porque un sistema en el que cuesta lo mismo codificar que romper el código es inútil.
2. LA CONJETURA DE HODGE
La geometría algebraica es el estudio de los conjuntos algebraicos, es decir, los lugares geométricos que se pueden definir por medio de polinomios por ejemplo, circunferencia, parábolas, etc. no así una trayectoria sinusoidal, que requiere el uso de funciones trigonométricas para ser descritas. Pero con el tiempo , los matemáticos han ido abstrayendo propiedades de tales conjuntos y aplicándoselas a las cosas que no tienen interpretación geométrica. Una de tales cosas es lo que se conoce como el ciclo de Hodge, la conjetura de Hodge dice que todo ciclo de Hodge es combinación racional de ciclos algebraicos, es decir de los ciclos asociados a subvariedades analíticas cerradas.
3. LA CONJETURA DE POINCARÉ
La superficie de una esfera es “simplemente conexa”, lo cual quiere decir que si hacemos un nudo corredizo sobre la misma y tramos de él, el nudo terminará contrayéndose a un puto de la esfera sin necesidad de romper ni la esfera ni la cuerda. La superficie de una rosquilla no tiene esa propiedad.
Desde tiempo anterior a Poincaré los matemáticos saben que la superficie de la esfera es, de hecho, la única superficie cerrada, es decir sin límites, simplemente conexa. La conjetura de Poincaré es que lo mismo ocurre para objetos de dimensión 3. En términos más precisos que toda variedad de dimensión 3 cerrada y simplemente conexa es homeomorfa o equivalente a la esfera de dimensión 3. Lo sorprendente es que en todas las dimensiones mayores que tres se conoce que la afirmación es cierta.
4. LA HIPOTESIS DE RIEMANN
Los números primos han fascinado a los matemáticos desde siempre, a comienzos del siglo XIX Gauss y Legendre conjeturaron que el número de primos entre 1 y n, es mas o menos igual a n/log (n), es decir que la probabilidad de que un número muy grande elegido al azar sea primo es inversamente proporcional al número de cifras del mismo. Esta aproximación, hoy conocida como el Teorema de los Números Primos, fue demostrada al final del mismo siglo por Hadamard y de la Vallée Pousin.
La demostración sigue ideas que Riemann propuso en 1851 pero cuyos detalles no pudo completar por falta de herramientas técnicas (el análisis complejo no estaba suficientemente desarrollado). Lo que Riemann observó es que la distribución de los números primos está estrechamente relacionada con el comportamiento de la llamada función zeta de Riemann, que es la única extensión natural (holomorfa) a los números complejos de la función zeta de Euler.
Esta función tiene dos tipos de ceros, los ceros triviales que son todos los números enteros pares y negativos y los ceros no triviales, cuya parte real está siempre entre 0 y 1. La hipótesis de Riemann afirma que todos los ceros no triviales tienen como parte real ½. La hipótesis implicaría por ejemplo que la aproximación dada por el Teorema de los Números Primos es mejor de lo que ha sido posible demostrar hasta ahora. La hipótesis de Riemann hace parte de los problemas de Hilbert, ha sido verificada para los primeros 1500 millones de ceros pero el número de ceros es infinito.
5. EXISTENCIA Y “MASS GAP” EN LA TEORIA DE YANG-MILLS
Este es un problema para físicos, lo que se pide es un modelo que satisfaga los axiomas de cierta Teoría Cuántica de Campos conocida como Teoría de Yang-Mills o “ Teoría de gauge no-abeliana”.
En física se reconocen cuatro tipos fundamentales de interacciones entre partículas, que gobiernan todos los procesos conocidos. La fuerza gravitatoria, la fuerza electromagnética, y los dos tipos de fuerzas nucleares. La fuerza gravitatoria no tiene efectos apreciables en el mundo atómico y además es conceptualmente difícil de compatibilizar con los postulados de mecánica cuántica. Por tanto se excluye de manera explícita en el llamado modelo estándar de la física de partículas.
Las ecuaciones de Yang y Mills, introducidas en 1954 son en pocas palabras una generalización no conmutativa de la electrodinámica cuántica, la cual a su vez es la versión cuantizada de la teoría electromagnética clásica de Maxwell. La electrodinámica cuántica es la teoría que modeliza las interacciones electromagnéticas en el contexto cuántico, y ya estaba ampliamente asentada y aceptada en los años 50. Esencialmente, las ecuaciones de Yang-Mills se reducen a la electrodinámica cuántica cuando las partículas portadoras del campo no tienen masa, como es el caso de los fotones portadores de la energía electromagnética y difieren de la electrodinámica cuántica solo cuando los portadores tienen masa como es el caso de los bosones W y Z, unas 100 veces más pesados que protones y neutrones, y portadores de las fuerzas nucleares débiles. En este sentido, la teoría de Yang-Mills es una pieza clave en la unificación de la electrodinámica cuántica con la teoría de las interacciones débiles: la llamada teoría electrodébil formulada en 1968, que valió el premio Nobel de Física en 1979 a sus creadores, Sheldon Glashow, Abdul Salam y Steven Weinberg. Hay que aclarar que la existencia de los bosones W y Z y el valor de su masa no fueron explicados sino predichos por la teoría electrodébil y el cromo-dinámica cuántico que regula las interacciones fuertes.
El reto que platea el Instituto Cay puede tener relación con esta futura teoría unificada, aunque se plantea como un problema puramente matemático. Explicado de manera imprecisa, se pide avanzar en el conocimiento matemático de la Teoría de Yang-Mills en dimensión cuatro. En términos más precisos, se pide demostrar que para todo grupo simple compacto G, hay una Teoría de Yang-
Mills en dimensión 4 que tiene a ese grupo como gauge y que además, esa teoría tiene una brecha de masa (mass gap). La brecha de masa significa que no puede haber excitaciones con energía arbitrariamente pequeña sino que hay un valor mínimo delta menor que cero para las mismas. Es una propiedad fundamental en el contexto físico. Explica, por ejemplo, por qué las interacciones fuertes, aun siendo las más fuertes de la naturaleza, son de corto alcance.
Mills en dimensión 4 que tiene a ese grupo como gauge y que además, esa teoría tiene una brecha de masa (mass gap). La brecha de masa significa que no puede haber excitaciones con energía arbitrariamente pequeña sino que hay un valor mínimo delta menor que cero para las mismas. Es una propiedad fundamental en el contexto físico. Explica, por ejemplo, por qué las interacciones fuertes, aun siendo las más fuertes de la naturaleza, son de corto alcance.
6. LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES.
Otro problema relacionado con la física, aunque es un problema de análisis más concretamente de ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones de Navier-Stokes, formuladas por Naviera en 1822 y Stokes en 1842. Modelizan el movimiento de los fluidos incompresibles. Pero la existencia de soluciones a las mismas en tres dimensiones solo está demostrada bajo ciertas restricciones a las condiciones iniciales. Se pide aquí que se demuestre la existencia de soluciones diferenciables para cualquiera valor físicamente aceptable de las condiciones iniciales.
7. LA CONJETURA DE BIRCH Y SWINNERTON-DYER
Se trata de un problema de geometría algebraica pasada por el tamiz de la teoría de números. Geometría algebraica porque tiene que ver con curvas algebraicas: conjuntos de soluciones de un polinomio f(x,y) en dos variables. Teoría de números porque se pide estudiar las soluciones racionales de las mismas y los coeficientes del polinomio son también racionales.
Las curvas algebraicas se clasifican según su género, siendo las más sencillas las de género cero o curvas racionales. Estas tienen o bien ninguna o bien infinitas soluciones racionales y el criterio para distinguir unas de otras fue establecido en 1890 por Hilbert y Hurwitz.
Para las de genero dos o más Faltings demostró en 1983 que el número de soluciones racionales es siempre finito, eso implica, por cierto, que la ecuación de Fermat.
Tiene un número finito de soluciones racionales para cada número natural n mayor que 2.
Queda por tanto demostrar un criterio que distinga que curvas de género 1 también llamadas elípticas tienen infinitas soluciones racionales y cuales tienen un número finito.
