ORIGEN DEL CALCULO DIFERENCIAL

El cálculo diferencial se originó en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento; es decir al estudiar  la velocidad de los cuerpos al caer al vacío  ya que cambia de un momento a otro, la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo encuentra la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente y pequeño. Para llegar al origen del cálculo  diferencial varios científicos tuvieron que aportar algo, algunos  de los cuales son:

Gottfried  Leibniz

Realizó investigaciones similares  e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo  diferencial en 1675. Su primera publicación sobre el tema fue en 1684.

·         Inventó  símbolos matemáticos para la derivada y la integral.

·         Fue el primero en usar el término “Función” y el uso de símbolo  para la igualdad.

Nicolás de Oresme

Estableció que en la proximidad del punto de una curva que la ordenada se considera “máximo y mínimos “, los tangentes y las cuadraturas  igualar a cero de la derivada de la función, debido a que la tangente de la curva de los puntos en que la función tiene su máximo o su mínimo, la función es paralela al eje “x”  donde la pendiente de la tangente es nula.

Isaac Barrow

Por medio del triángulo caracterizo que la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco.

Sir Isaac Newton 

Concibió el método de las fluxiones considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye, fue  el primero en descubrir y desarrollar el método de fluxiones entre 1666 y 1669

Desarrolló  su propio método para el cálculo de tangentes.

En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto con Fermat.

A fines de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de “Fluxión”, que para él era la velocidad con la que una variable “fluye”  con el tiempo.

En 1666 fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver  problemas de esta índole.

En lo que concierne a las derivadas, existen dos conceptos geométricos que le dieron origen:

*El problema de la tangente a una curva.

*El problema de los extremos (máximos y mínimos.

El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centro des, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real.

Leucipo, Demócrito y Antifon hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. El método se llama exhaustivo ya que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más del área requerida.

Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas

A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ...

El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:

A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A.

Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad, la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica.

Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π. Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmente de un hiperboloide de revolución. Tres matemáticos, nacidos en un periodo de tres años, fueron los siguientes en hacer contribuciones importantes. Eran Fermat, Roberval y Cavalieri. Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler.  Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de xn entre 0 y a era an+1/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general. Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados. Aplicó esto a la integral de xm entre 0 y 1 y demostró que tenía un valor aproximado de

(0m + 1m + 2m +...+ (n-1) m)/nm+1.

Roberval entonces afirmó que esto tendía a 1/(m+1) cuando n tiende a infinito, calculando así el área. Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Generalizó la parábola y la hipérbola:

Parábola: y/a = (x/b)² generalizada como (x/a)n = (y/b)m.

Hipérbola: y/a = (b/x)² generalizada como (y/a)n = (b/x)m.

Al estar examinando y/a = (x/b)p, Fermat calculó la suma de reparar r entre 1 y n. Fermat también investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X.

Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intersección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton. Huygens criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.

Aunque Leibniz fue el primero en publicar un trabajo sobre cálculo, quien primero desarrolló estos temas fue Isaac Newton durante los años 1664 a 1666. Por entonces, Newton era estudiante del Trinity College de Cambridge e inventó lo que él llamó las fluxiones, que no eran otra cosa que un conjunto de reglas con las que también podía calcular máximos, mínimos y tangentes sin que las cantidades fraccionarias o irracionales supusieran ningún obstáculo.

Aunque Leibniz fue el primero en publicar un trabajo sobre cálculo, quien primero desarrolló estos temas fue Isaac Newton durante los años 1664 a 1666. Por entonces, Newton inventó lo que él llamó las fluxiones, que no eran otra cosa que un conjunto de reglas con las que también podía calcular máximos, mínimos y tangentes sin que las cantidades fraccionarias o irracionales supusieran ningún obstáculo.

Actualmente, toda la comunidad científica otorga a ambos el honor de haber descubierto el cálculo. Sin embargo, en la actualidad se siguen las notaciones que usaba Leibniz para simbolizar diferenciales e integrales.

En seguida les mostraremos un ejemplo de cómo aplicamos el cálculo en polígonos circunscritos

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba.

El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente.

LOS PROBLEMAS DEL MILENIO

Los siete problemas del milenio han sido elegidos por una institución privada de Cambridge, Massachusetts, el Instituto Cay de Matemáticas, cuya resolución de cada problema sería premiada con la suma de un millón de dólares. El Instituto Cay de Matemáticas es una institución de carácter privado fundado por el empresario estadounidense Landon T. Cay y su esposa Lavinia D. Cay en el año de 1998, para su fundación estas personas donaron gran parte de su fortuna, el objetivo principal de esta institución es incrementar y difundir el conocimiento de las matemáticas.  Entre sus actividades se encuentra el apoyo a investigadores matemáticos, programas para promover el desarrollo de las vocaciones de jóvenes con talento especial en el campo de las matemáticas, y por supuesto, la actividad por la que se ha hecho famosa es por el concurso de los problemas del milenio.

La lista contiene representación de todas las áreas de la matemática, algebra, geometría, teoría de números, análisis, física matemática.

Algunos de los problemas llevan abiertos cien años o más, como la hipótesis de Riemann o la conjetura de Poincaré, formuladas por las personas que les dan el nombre en  1857 y 1904 respectivamente.

La elección del año 2000 para el lanzamiento de este proyecto no es producto de la casualidad, aparte del valor simbólico de la fecha como cambio de siglo y de milenio, la UNESCO declaró ese año como “Año Mundial de las Matemáticas”. Además del centenario de la publicación de la lista de los 23 problemas de Hilbert, formulados por David Hilbert.  Algunos de los problemas de Hilbert continúan sin tener una solución satisfactoria. 

Algunos de los problemas han sido “resueltos” varias veces a lo largo de su historia o al menos así lo han creído los autores de las supuestas soluciones, y en algunos casos, la mayoría de sus contemporáneos.  Por ejemplo el primer matemático en resolver la conjetura de Poincaré fue el propio Poincaré en el año 1900, justo cuatro años antes de formulara como conjetura al darse cuenta que tenía un error.  Para evitar este tipo de falsas soluciones, las normas del concurso son muy específicas:

1.       Ser publicada en una revista de prestigio mundial.

2.       Tener aceptación general dos años después de su publicación.

3.       Poseer el visto bueno del comité científico del Instituto Cay .

4.       Obtener el visto bueno de un segundo comité más especializado que se creará expresamente para estudiar esa solución.

A continuación la lista de los llamados problemas del milenio:

1.       “P vs NP”

Todos sabemos que hay problemas matemáticos o no en los que es mucho más difícil encontrar una solución que comprobar si una solución es correcta.  El problema1.   “P vs NP” pide demostrar o refutar esa afirmación tan evidente.

En informática teórica se llama problema a algo que a cada input asocia un output de manera bien definida, por ejemplo, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales sería un problema y el output puede ser una solución o un conjunto de sus soluciones.  Los problemas se clasifican en diferentes clases de complejidad según lo fácil o difícil para resolverlos.  Los problemas P (polinómicos) son los que se pueden resolver en un tiempo razonable y los NP ( polinómicos en sentido no determinista) aquellos en los que se puede al menos comprobar en un tiempo razonable que una solución es correcta.  Tiempo razonable significa un número de pasos acotados por una función polinómica del tamaño del input.

Por supuesto, todo problema P es también NP.  Pero nadie sabe si hay algún problema NP que no sea P.  La pregunta de si P=NP fue formulada en 1971 por Stephen Cook y Leonid Levin.

El asunto de es muy importante.  Los sistemas criptográficos de clave pública que todos usamos hoy en día, por ejemplo, internet se basan en que tu ordenador pueda codificar mensajes utilizando para ello una clave pública y que el receptor los pueda descifrar con una clave privada.  Pero para que el método sea practico, el creador de las claves debe ser capaz de construir la clave pública a partir de la privada en tiempo P, lo cual significa que reconstruir la privada a partir de la publica en un problema NP.  Si resultara que P y NP son lo mismo, entonces cualquier tercero que intercepte el mensaje y la clave pública también puede descifrarlo en tiempo P, así que tendríamos que inventar algo nuevo, porque un sistema en el que cuesta lo mismo codificar que romper el código es inútil.

2.       LA CONJETURA DE HODGE

La geometría algebraica es el estudio de los conjuntos algebraicos, es decir, los lugares geométricos que se pueden definir por medio de polinomios por ejemplo, circunferencia, parábolas, etc. no así una trayectoria sinusoidal, que requiere el uso de funciones trigonométricas para ser descritas.  Pero con el tiempo , los matemáticos han ido abstrayendo propiedades de tales conjuntos y aplicándoselas a las cosas que no tienen interpretación geométrica.  Una de tales cosas es lo que se conoce como el ciclo de Hodge, la conjetura de Hodge dice que todo ciclo de Hodge es combinación racional de ciclos algebraicos, es decir de los ciclos asociados a subvariedades analíticas cerradas.

3.       LA CONJETURA DE POINCARÉ

La superficie de una esfera es “simplemente conexa”, lo cual quiere decir que si hacemos un nudo corredizo sobre la misma y tramos de él, el nudo terminará contrayéndose a un puto de la esfera sin necesidad de romper ni la esfera ni la cuerda.  La superficie de una rosquilla no tiene esa propiedad.

Desde tiempo anterior a Poincaré los matemáticos saben que la superficie de la esfera es, de hecho, la única superficie cerrada, es decir sin límites, simplemente conexa.  La conjetura de Poincaré es que lo mismo ocurre para objetos de dimensión 3.  En términos más precisos que toda variedad de dimensión 3 cerrada y simplemente conexa es homeomorfa o equivalente a la esfera de dimensión 3.  Lo sorprendente es que en todas las dimensiones mayores que tres se conoce que la afirmación es cierta.

4.       LA HIPOTESIS DE RIEMANN

Los números primos han fascinado a los matemáticos desde siempre, a comienzos del siglo XIX Gauss y Legendre conjeturaron que el número de primos entre 1 y n, es mas o menos igual a n/log (n), es decir que la probabilidad de que un número muy grande elegido al azar sea primo es inversamente proporcional al número de cifras del mismo.  Esta aproximación, hoy conocida como el Teorema de los Números Primos, fue demostrada al final del mismo siglo por Hadamard y de la Vallée Pousin.

La demostración sigue ideas que Riemann propuso en 1851 pero cuyos detalles no pudo completar por falta de herramientas técnicas (el análisis complejo no estaba suficientemente desarrollado).  Lo que Riemann observó es que la distribución de los números primos está estrechamente relacionada con el comportamiento de la llamada función zeta de Riemann, que es la única extensión natural (holomorfa) a los números complejos de la función zeta de Euler.

Esta función tiene dos tipos de ceros, los ceros triviales que son todos los números enteros pares y negativos y los ceros no triviales, cuya parte real está siempre entre 0 y 1.  La hipótesis de Riemann afirma que todos los ceros no triviales tienen como parte real ½.  La hipótesis implicaría por ejemplo que la aproximación dada por el Teorema de los Números Primos es mejor de lo que ha sido posible demostrar hasta ahora. La hipótesis de Riemann hace parte de los problemas de Hilbert, ha sido verificada para los primeros 1500 millones de ceros pero el número de ceros es infinito.

5.       EXISTENCIA Y “MASS GAP” EN LA TEORIA DE YANG-MILLS

Este es un problema para físicos, lo que se pide es un modelo que satisfaga los axiomas de cierta Teoría Cuántica de Campos conocida como Teoría de Yang-Mills o “ Teoría de gauge no-abeliana”.

En física se reconocen cuatro tipos fundamentales de interacciones entre partículas, que gobiernan todos los procesos conocidos.  La fuerza gravitatoria, la fuerza electromagnética, y los dos tipos de fuerzas nucleares. La fuerza gravitatoria no tiene efectos apreciables en el mundo atómico y además es conceptualmente difícil de compatibilizar con los postulados de mecánica cuántica.  Por tanto se excluye de manera explícita en el llamado modelo estándar de la física de partículas.

Las ecuaciones de Yang y Mills, introducidas en 1954 son en pocas palabras una generalización no conmutativa de la electrodinámica cuántica, la cual a su vez es la versión cuantizada de la teoría electromagnética clásica de Maxwell.  La electrodinámica cuántica es la teoría que modeliza las interacciones electromagnéticas en el contexto cuántico, y ya estaba ampliamente asentada y aceptada en los años 50.  Esencialmente, las ecuaciones de Yang-Mills se reducen a la electrodinámica cuántica cuando las partículas portadoras del campo no tienen masa, como es el caso de los fotones portadores de la energía electromagnética y difieren de la electrodinámica cuántica solo cuando los portadores tienen masa como es el caso de los bosones W y Z, unas 100 veces más pesados que protones y neutrones, y portadores de las fuerzas nucleares débiles.  En este sentido, la teoría de Yang-Mills es una pieza clave en la unificación de la electrodinámica cuántica con la teoría de las interacciones débiles: la llamada teoría electrodébil formulada en 1968, que valió el premio Nobel de Física en 1979 a sus creadores, Sheldon Glashow, Abdul Salam y Steven Weinberg.  Hay que aclarar que la existencia de los bosones W y Z y el valor de su masa no fueron explicados sino predichos por la teoría electrodébil y el cromo-dinámica cuántico que regula las interacciones fuertes.

El reto que platea el Instituto Cay puede tener relación con esta futura teoría unificada, aunque se plantea como un problema puramente matemático.  Explicado de manera imprecisa, se pide avanzar en el conocimiento matemático de la Teoría de Yang-Mills en dimensión cuatro.  En términos más precisos, se pide demostrar que para todo grupo simple compacto G, hay una Teoría de Yang-
Mills en dimensión 4 que tiene a ese grupo como gauge y que además, esa teoría tiene una brecha de masa (mass gap).  La brecha de masa significa que no puede haber excitaciones con energía arbitrariamente pequeña sino que hay un valor mínimo delta menor que cero para las mismas. Es una propiedad fundamental en el contexto físico.  Explica, por ejemplo, por qué las interacciones fuertes, aun siendo las más fuertes de la naturaleza, son de corto alcance.

6.       LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES.

Otro problema relacionado con la física, aunque es un problema de análisis más concretamente de ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones de Navier-Stokes, formuladas por Naviera en 1822 y Stokes en 1842. Modelizan el movimiento de los fluidos incompresibles.  Pero la existencia de soluciones a las mismas en tres dimensiones solo está demostrada bajo ciertas restricciones a las condiciones iniciales.  Se pide aquí que se demuestre la existencia de soluciones diferenciables para cualquiera valor físicamente aceptable de las condiciones iniciales.

7.       LA CONJETURA DE BIRCH Y SWINNERTON-DYER

Se trata de un problema de geometría algebraica pasada por el tamiz de la teoría de números.  Geometría algebraica porque tiene que ver con curvas algebraicas: conjuntos de soluciones de un polinomio f(x,y) en dos variables.  Teoría de números porque se pide estudiar las soluciones racionales de las mismas y los coeficientes del polinomio son también racionales.

Las curvas algebraicas se clasifican según su género, siendo las más sencillas las de género cero o curvas racionales. Estas tienen o bien ninguna o bien infinitas soluciones racionales y el criterio para distinguir unas de otras fue establecido en 1890 por Hilbert y Hurwitz.

Para las de genero dos o más Faltings demostró en 1983 que el número de soluciones racionales es siempre finito, eso implica, por cierto, que la ecuación de Fermat.

Tiene un número finito de soluciones racionales para cada número natural n mayor que 2.

Queda por tanto demostrar un criterio que distinga que curvas de género 1 también llamadas elípticas tienen infinitas soluciones racionales y cuales tienen un número finito.